CÁLCULO
Antecedentes históricos
El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad.
Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento.
Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.
En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:
Encontrar la tangente a una curva en un punto.
Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.
Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.
El Cálculo Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral.
El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.
El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que hayas estudiado con anterioridad. Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. El cálculo se interesa en el cambio y en el movimiento; trata de cantidades que se aproximan a otras cantidades.
Los orígenes del cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método de agotamiento”. Sabían cómo hallar el área A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos (método de triangulación), y sumar las áreas de estos triángulos.
Es un problema mucho más difícil hallar el área de una figura curva. El método griego de agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos aumentara. Fue Arquímedes (287-212 a.n.e.) quien dio la descripción más clara de este método. En figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo, con polígonos regulares inscritos.
Sea n A el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n, se ve que n A se aproxima cada vez más al área del círculo. Decimos, entonces, que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos
Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área de un círculo.
El Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.
En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina “momentum” de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la “razón del momentum” al tiempo correspondiente es decir, la velocidad. Por lo tanto, fluente es la cantidad variable que se identifica como función; fluxión es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la derivada; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se llama momento que se identifica como la diferencial. El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”.
El filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observando que dicho triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la Subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos, la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz.
Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.
La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.
Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos.
Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".
Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del Cálculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenció en Leibniz en la invención del Cálculo Diferencial, además hizo aportaciones a la geometría analítica, la teoría de números y la probabilidad.
Nicolás Oresme, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que: en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.
Johannes Kepler coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es paralela al eje donde la pendiente de la tangente es nula. X
Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo, 1677), maestro de Newton, construyó el “triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema del Valor Medio. Se dice que Napoleón dijo de él un día: “Lagrange es la altiva pirámide de las ciencias matemáticas”.
Augustin-Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857), matemático francés, impulsor del Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las Funciones de las Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones de “función de función” y la de “función compuesta” se deben a él. El concepto de función continua fue introducido por primera vez por él en 1821, en su texto Cours d’Analyse se expresa que los pequeños cambios indefinidos en eran el resultado de los pequeños cambios indefinidos en. “… se dirá que es una función continua.
Leonard Euler (1707-1783). La simbología se debe a él, además fue uno de los primeros en aplicar el cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos publicados incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica y magnetismo.
John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616 – Oxford, 28 de octubre de 1703), enuncia el concepto de “límite”.
La representación simbólica “lím” se debe a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de abril de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840).
El símbolo “tiende a” lo propuso J. G. Leathem.
Karl Weierstrass, matemático alemán, se encargó de dar formalidad y estructura a la noción intuitiva de límite.
Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) fue quien dio la primera definición moderna de función.
Jacobo Bernoulli introduce la palabra “función” en el Cálculo Diferencial.
Niels Henrik Abel (1802.1829) y Evariste Galois (1811-1832). Aunque sus vidas fueron breves, sus trabajos en los campos del análisis y del álgebra abstracta fueron de gran alcance.
En el siglo XIX se encontraron bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño.
El Cálculo Diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose como una herramienta técnico – científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, en medicina para medir el flujo cardiaco, la estadística, y en una gran diversidad de otras áreas.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del Cálculo Diferencial se deben a Newton y Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el Cálculo Diferencial continuó basándose en el concepto de lo infinitesimal. A Newton y Leibniz se les llama fundadores del Cálculo, ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del Cálculo Diferencial denominado “Problema de las Tangentes”, en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada en un punto cualquiera. Sin embargo, fue Leibniz quien trató de ampliar el cálculo al desarrollar reglas y asignarle una notación formal. A menudo pasó días eligiendo una notación apropiada para un nuevo concepto.
Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin.
LOS CONTRIBUYENTES AL CÁLCULO
A lo largo de la historia de los tiempos, numerosos matemáticos, físicos, filósofos y astrónomos entre otros, contribuyeron de alguna u otra forma al nacimiento, desarrollo y consolidación del cálculo. A continuación aparecen los nombres surgidos en las diferentes épocas, los logros más importantes de algunos de ellos y reseñas biográficas de quienes realizaron los aportes más relevantes al nacimiento del cálculo y la integral definida.
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THALES DE MILETO (624-547 a.C.) |
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PITÁGORAS de SAMOS (580-500 a.C.) |
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ZENÓN DE ELEA (490-425 a.C.) |
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EUDOXO de CNIDUS (408-355 a.C.): creador del método de exhaución |
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ARQUÍMEDES (287-212 a.C.): nativo de Siracusa, Sicilia estudió en Alejandría. Desarrolló métodos infinitesimales. Hizo una de las más significativas contribuciones griegas, utilizó el método de exhaución para encontrar el valor aproximado del área de un círculo. |
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GALILEO GALILEI (1564-1642) |
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JOHANNES KEPLER (1571-1630) |
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RENÉ DESCARTES (1596-1650) |
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BONAVENTURA CAVALIERI (1598-1647): desarrolló un método
de lo indivisible, el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral. Su método consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen. |
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PIERRE DE FERMAT (1601-1665): desarrolló métodos ingeniosos y útiles para encontrar máximos y mínimos. Trata de encontrar pruebas más o menos rigurosas de la conjetura de Cavalieri. |
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GILLES DE ROBERVAL (1602-1675) |
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EVANGELISTA TORRICELLI (1608-1647): volúmenes generados por la rotación de ciertas curvas. Discípulo de Galileo Galilei. |
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JOHN WALLIS (1616-1703): tuvo una influencia decisiva en los primeros desarrollos del trabajo matemático de Newton |
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BLAIS PASCAL (1623 -1662) |
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CRISTIAN HUYGENS (1629-1695) |
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GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716) |
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JACOB BERNOULLI (1654-1705): matemático suizo que se carteaba con frecuencia con Leibniz, acuñó la palabra integral como término del cálculo en el año 1690. |
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GUILLAUME FRANCOIS ANTOINE MARQUIS L´HOPITAL (1661-1704): escribió el primer libro de cálculo en el año 1696 influenciado por las lecturas que realizaba de sus profesores Bernoulli y Leibniz. |
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JOHANN BERNOULLI (1667-1748) |
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COLIN MACLAURIN (1698-1746) |
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LEONARD EULER (1707-1783) |
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THOMAS SIMPSON (1710-1761): sus principales trabajos se refieren a interpolación y métodos numéricos de integración. |
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ALEXIS CLAUDE CLAIRAUT (1713-1765) |
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MARIA GAËTANA AGNESI (1718-1799) |
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JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736-1813) |
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MARQUÉS DE CONDORCET (1743-1794) |
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GASPARD MONGE (1746-1818) |
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PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749-1827) |
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ADRIEN LEGENDRE (1752-1833) |
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LAZARE CARNOT (1753-1823) |
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CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1813) |
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BERNARD BOLZANO (1781-1848) |
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AGUSTIN-LOUIS CAUCHY (1789-1857): trabajó en la tarea de dar una definición precisa de "función continua". |
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KARL WEIERSTRASS (1815-1897) |
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GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903) |
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GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826-1866) |
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RICHARD DEDEKIND (1831-1916) |
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JOSIAH WILLARD GIBBS (1839-1903) |
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SOFÍA KOVALEVSKY (1850-1891) |
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HENRI LÉON LEBESGUE (1875-1941) |
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ANDREY NIKOLAEVICH KOLMOGOROV (1903-1987) |
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JOHN VON NEUMANN (1903-1957) |
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JEAN ALEXANDRE EUGENÈ DIEUDONNÉ (1906-1992) |
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NICOLÁS BOURBAKI (1939-1967): seudónimo adoptado por un grupo de matemáticos franceses. |
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compañeros su trabajo esta bien hecho, solo que sus tablas no estan completas y tampoco tienen imagenes, pero en si su resumen esta muy bien elaborado...
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